Real-Time Rendering (9) ：碰撞检测
提要
碰撞检测（CD）在很多图形应用中都有着极其重要的角色，CAD/CAM，游戏动画，基于物理的建模，基本上所有的虚拟现实模拟都会用到，
我们常说的CD其实指的是Collision handling，可以分为三个部分：Collision detection，Collision determination，Collision response。Collision detection阶段得到的是一个bool值，表示是否检测到碰撞，Collsion determination 是找到碰撞的部位，Collision response则决定碰撞的物体做出的反应。
一个健壮的CD系统需要拥有下面的一些特性：
1.能够处理大量多边形的交互，无论近距离还是远距离都能处理；
2.可以处理任意的多边形汤（polygon soups），它不一定保证是凸的，也不一定包含链接信息；
3.模型能够做刚体的运动，比如平移，旋转，或者其他更复杂的运动；
4.提供有效的包围体（Boundig volume），为几何体创建合适的BV能够提高算法的效率，当然BV的创建也要够快；
一个大的游戏场景中可能有成百上千的运动物体，一个CD系统要能够处理这样的场景，如果场景中有n个运动的物体和m个静止的物体，那么每一帧要进行检测计算的次数就是：
首先是检测所有静止的物体和运行哦那个的物体是否有碰撞，然后是检测运动的物体之间的碰撞。这是最暴力的算法，m和n的大小直接关系到计算量。
实际应用中，不可能使用这样的计算，应为无法支付这样的性能代价，特别是在大的场景中。
注意下面要讨论的内容都指的刚体运动。
光线碰撞检测 Collision Detection with Rays
在一个赛车游戏中，一辆车奔驰在路上，在碰撞检测方面要做的就是车轮和路面的检测，非别检测每个轮子和地面mesh的碰撞，但有更简单有效的方法。
将运动的物体近似成一组光线，对于上面的情形，我们可以在每个车轮上放一个光线，光线的原点就在轮子的最下端，当车辆只与地面进行接触的时候，这种近似非常有效。
在车的运动过程中，不断检测光线到地面的距离distance，如果为0，则刚好在地面上，如果大于0,则车轮离开了地面，如果小于0,则车轮已经陷入地面了。通过计算distance，CD 系统还可以做出对应的碰撞处理，离开地面就落下来，陷入地面就升上去，如果场景更加复杂的话就要考虑更多的情况，比如要考虑车与墙面的碰撞，车于车之间的碰撞，就要在车体上放更多的光线了。
加速算法方面，最常用的就是层级表示（hierarchical representation）。整个环境场景可以用axis-aligned BSP树来表示，然后接下来就是光线求交的问题了。
在实际应用中，ray的原点通常不是在界面上，而是在物体里面，这样当轮子陷入地面的时候，就能够保证求得的distance为正值。
用DSP 树处理动态碰撞检测 Dynamic CD using BSP Trees
线段和标准的BSP树能够很有效的检测到碰撞，一个线段可以表示一个点为从p0到p1，可能这个线段会和物体有很多交点，但第一个点就是就是这个线段与物体的碰撞点。注意在这种情况下BSP树是依附于物体表面（surface aligned）的，而不是平行轴（axis-aligned）的。如下图所示。每一个切面都和墙面或者地面平行。
这种方式的检测很容易从质点扩展到球。只要将每个表面从法向向外扩展r。这样的话碰撞检测起来将是非常地快，而且对于不同半径的球体，BSP树都不用改变。假设场景中有个面的方程是 n·x d=0,那么对这个面进行调整之后为n·x d /-r=0. r还是-r取决于要检测的面 。
游戏中的一个角色用一个球体来近似并不是那么合适，通常会用一个包围角色的凸包（convex hull）或者圆柱来代替。
层级碰撞检测 General Hierarchical Collision Detection
这里要说的碰撞检测主要是关于两个模型的。每一个模型都用层级的Bounding volumes来代表，对应不同的BVs，上层的代码都是一样的。
层级建树
一种名为k-ary 树的数据结构在这里会用到，在树中每一个节点都有k个孩子，很多算法用的都是最简单的情况，也就是二叉树，即k=2,在树中的每个非叶子节点都代表着一个BV，包含着以它为根的所有子节点。对于任意点的的bunding volume记为ABV，A的所有子节点的集合记为Ac 。
主要有三种建树的方法：自底向下(bottom-up)，增量插入(incremental tree-insertion)，自顶向下(top-down)。为了建立有效、进凑的结构，通常BV是越小越好，对于CD，肯定也是如此。
自底向上的方法首先找到紧挨在一起的一组多边形，然后用BV将其包裹起来，然后不断地用新的BV去包裹老的BV，直到最后只有一个BV将整个物体都包住，这个BV也就是BVH树的根。
增量插入地方法初始的时候是一棵空树，然后不断找出BV插入到树中，这种方法的难点是在插入的时候并不是简单地插入叶子节点，可能需要添加一个父节点，也就是一个父BV。
自顶向下的方法是最常用的，初始的时候是一个单节点的树，这个节点是包含整个物体的BV，接下来要做的就是divide-and-conquer了。 将根分裂成k个部分，每个部分都生成一个BV将其包围起来，然后不断循环，到最后一个层级的BVH就建立了。
CD算法的一个很大的挑战就是找到合适的BVs，还有就是一个高效平衡的树结构。记住平衡树是的最优的，因为每个叶子节点的深度都是一样的，这意味着查找叶子节点的时间基本相同，而碰撞检测的时间也就不会因为位置不同而出现很大的波动。但也有其他的情况，比如在某种情形下，某些部位经常会出现碰撞，则最好将其放在离树根比较近的叶子上，而有些部位基本不会发生碰撞，那么最好将其放在离根远的叶子上。
碰撞检测算法
最简单的情况是只判断两个物体是否相撞，则算法的停止条件就是范县有两个三角形有重叠。在下面的算法中，A和B是模型层级树的根节点，TA表示A的叶子节点，基本的思路就是当重叠出现的时候，打开BV，递归调用函数进行检测。
算法中分了很多中情况，第一种是两个节点都是叶子节点的情况，第二种是两个节点都不是叶子的情况，最后是当两个节点有一个是叶子的情况。
时间复杂度
上面算法的复杂度主要由模型的BV和物体的运动。总的时间计算公式如下：
nv：BV/BV重叠测试数；cv：单个BV/BV重叠所耗费时间；
np：图形单元重叠测试数；cp：两个图形单元重叠所耗费时间；
nu：由于模型运动需要update的BV数量；cu：update一个bv所耗费的时间。
通过创建一个好的层级树可以减少一些时间复杂度，但有时候都是一些trade-off，比如如果使用比较简单的BV，检测的时间会减少，但BV就不是最优的了。
多物体碰撞检测系统 A Multiple Objects CD System
在大的场景中的碰撞检测如果还是用上面的方法并不是很现实，特别是在时间复杂度要求高的情况下，比如游戏。下面要介绍的是一种两层的碰撞检测系统，目标是处理复杂的大型场景。第一级检测的是检测场景中可能发生碰撞的物体，得到的结果传到第二级，在第二级检测中实现具体物体的碰撞检测。
广义相碰撞检测 Broad Phase Collision Detection
第一级检测的目标是尽量传递少的需要检测的物体到第二层，这是一个High-level的检测。
算法的开始首先将每一个物体用一个BV包围住，然后用算法找到所有重叠的 BV/BV 。一个简单的方法是每个物体都用一个AABB来包围。为了防止BV的重新构造，AABB一定要足够大，能够包容住物体的刚体运动。划分好AABB之后，检测就可以很快的进行。
除了Box，球体也可以使用，而且是合理的，因为球体可以包含物体任意方向的旋转。
扫描和修剪 Sweep and Prune
这里假设每个物体都有一个AABB包围，在扫描修建算法中，使用了时间相干性（temporal coherence）。在这里，时间相干性质指的是物体在帧与帧之间的相对位置变化是相对小的，在这种情况下，上一帧所得到的碰撞检测结果可以用于下一帧的计算，这个特性也可以称为帧-帧相干性（Frame-to-frame coherence）。
如果两个AABB是重叠的，那么这两个AABB在各个轴上的投影也是重叠的，将物体投影到坐标轴上，可以将一个三维的问题降低到三个轴上的一维问题，这就是 Sweep and Prune的核心思想。
1.将物体的AABB分离到三个坐标轴上。得到若干个区间。
2.根据区间的终点坐标由小到大排序。
3.逐个遍历排序结果，当遇到一个区间的起始点的时候，就将这个区间放到一个列表中；当遇到一个区间的终点时，就将这个区间从列表中清除。当在列表中存在区间，而又遇到一个新区间的起始点时，则遇到的区间与列表中的所有区间重叠。
4.如果一对物体在三个坐标轴上的区间都重叠，那么他们的AABB相叠。
注意，排序的算法最快可以到O（nlogn），找到覆盖的区间的复杂为O（k），则整个算法的复杂度为O（nlogn k）。由于时间的相干性，插入或者冒泡排序可以达到很高的效率，应为相对的重叠区域变化不会很大。
最终的时间可以控制在线性的时间，但当出现clumping的时候，排序的时间复杂度可能退化到O（n^2），这时候我们可以绕过某个轴的检测，有时候这样做是可行的。