图形学——Make Some Noise
发表于2018-04-23
周末逛Unity Assets 商店的时候发现一个免费的体积云，下下来看了下代码发现是procedural noise + ray maching做的， 看到noise代码那块发现自己噪声都忘的差不多了，正好趁机会梳理下吧。
1、PerlinNoise
理论方面因为懒得翻论文就直接参考了乐乐姐的博客，其中perlin noise的主要描述如下：
- 定义一个晶格结构，每个晶格的顶点有一个“伪随机”的梯度向量（其实就是个向量啦）。对于二维的Perlin噪声来说，晶格结构就是一个平面网格，三维的就是一个立方体网格。
- 输入一个点（二维的话就是二维坐标，三维就是三维坐标，n维的就是n个坐标），我们找到和它相邻的那些晶格顶点（二维下有4个，三维下有8个，n维下有2n个），计算该点到各个晶格顶点的距离向量，再分别与顶点上的梯度向量做点乘，得到2n个点乘结果。
- 使用缓和曲线（ease curves）来计算它们的权重和。在原始的Perlin噪声实现中，缓和曲线是s(t)=3t2?2t3，在2002年的论文6中，Perlin改进为s(t)=6t5?15t4+10t3。这里简单解释一下，为什么不直接使用s(t)=t，即线性插值。直接使用的线性插值的话，它的一阶导在晶格顶点处（即 t=0 或 t=1）不为0，会造成明显的不连续性。s(t)=3t2?2t3在一阶导满足连续性，s(t)=6t5?15t4+10t3 在二阶导上仍然满足连续性。
前两条很简单，就是针对每一个点，在晶格顶点上计算方向导数， 第三条我个人觉得描述是不严谨的，我们将问题简化到一维：
在一维的情况下，晶格就变成了线段，顶点到P的方向导数在P的定义域上离散分布，要使函数平滑则其必须处处可导，因此，我们设：
因为在进行插值的时候，前一个晶格的1在下一个晶格看来是0， 因此调和函数要满足的是其一阶导数在 01 这个特殊的点上可导，即：f′(0)=f′(1)
当
，其一阶导数在 0 和 1上的值为0，故 f(t) 处处可导
此时s′(t)的二阶导数在0 和1 上的值分别为6 和 -6， 因此，f′(t)在 01 处不可导
而
则是一二阶导数在0 和 1 上都为0，故此时f′(t)处处可导
在12x12 晶格的情况下，其效果分别如下：
s(t)=t
2、Simplex Noise
Simplex噪声也是一种基于晶格的梯度噪声，它和Perlin噪声在实现上唯一不同的地方在于，它的晶格并不是方形（在2D下是正方形，在3D下是立方体，在更高纬度上我们称它们为超立方体，hypercube），而是单形，simplex。那么什么是单形呢？
通俗解释单形的话，可以认为是在N维空间里，选出一个最简单最紧凑的多边形，让它可以平铺整个N维空间。我们可以很容易地想到一维空间下的单形是等长的线段（1-单形），把这些线段收尾相连即可铺满整个一维空间。在二维空间下，单形是三角形（2-单形），我们可以把等腰三角形连接起来铺满整个平面。三维空间下的单形，即3-单形就是四面体。更高维空间的单形也是存在的。
因为使用了单形，因此每个点的值不再是通过插值得到，而是通过所属单形的顶点处的值按一定权重混合叠加得到，每个顶点的噪声贡献度为：
下面的问题就是如何找到顶点
具体推导可以参考 catlike 的教程， 这个把N维空间下的单形网格变形成新网格的公式如下：
同理逆变换的公式如下：
这样的变换我们可以通过旋转矩阵和非均匀缩放矩阵实现，在二维的情况下，以Unity中的Quad为例，先逆时针旋转45°，然后将Y方向缩放为之前的1/3–√ 倍，即可得到：
在二维情况下，我分别用上面的两种变换方式进行了实现，如图所示：
在用矩阵实现的过程中我发现，生成的时候少做一次变换，产生的噪声类似水流的效果
将灰度值作为高度，着色后的效果如下：
实践
上图是 Unity 中通过 raytrace 绘制的经过 fbm 处理的 3D 柏林噪声等位面， 其中 fbm 是分型布朗运动（Fractal Brownian Motion）的缩写， 即将多个不同频率、振幅的基础噪声叠加已得到最终结果。 3D 柏林噪声则是按照上面的理论从二维扩展导三维， 标准实现可参考 iq 的代码。
来自：https://blog.csdn.net/notmz/article/details/77413131