Unity3D教程：PerlinNoise原理及实现

发表于2016-05-21

柏林噪声算法有两个版本的柏林噪声定义，考虑到大家会存在混淆定义的情况造成了将分形噪声当做柏林噪声，然后就出现了两个柏林噪声的现象。为了帮助大家，下面就给大家介绍下Unity3D中柏林噪声（PerlinNoise）的原理和实现方法。

一、前言

本文旨在与大家一起探讨学习新知识，如有疏漏或者谬误，请大家不吝指出。

二、概述

　　在学习GPU Gem 1和GPU Gem 2的时候看到了柏林噪声算法的相关知识，到网上搜索相关资料时发现竟然有两个版本的柏林噪声定义，深入学习后发现其中有一部分存在混淆定义的情况，造成了将分形噪声当做柏林噪声，然后就出现了两个柏林噪声的现象。（多个不同频率与振幅的噪声的叠加属于分形噪声的思想，这是对同样有此困惑的读者说的）

　　主要参阅资料有：

　　GPU Gem 1中柏林噪声的相关章节；

　　GPU Gem 2中第26章关于改进后的柏林噪声的实现；

　　维基百科上对于柏林噪声的定义；

　　candycat的博客中对于柏林噪声的描述；

　　Ken Perlin在2002年发表的改进版柏林噪声的论文；

　　Perlin Noise，译作柏林噪声，是指Ken Perlin发明的噪声算法。1983年，Ken Perlin在参与”电子世界争霸赛”这部动画电影制作的时候提出了柏林噪声算法，随后在2002年对原有的柏林噪声算法做了改进，并发表了论文ImprovingNoise。

　　那么我们先来了解下柏林噪声的用途。在游戏开发以及其他应用程序的开发中，其实经常会用到随机数生成器，有可能它是”random()”，或者U3D中的”Ramdom.Range()”。总之，如果我们直接用随机数生成器来生成一张图，那么它应该是下面这样子的：

　　整张图上面充满了尖锐的噪声，如同收不到信号的收音机发出的滋啦滋啦声。这种噪声我们一般称为白噪声，它一点也不美观，如果我们需要模拟自然界中的某些随机现象，那么它完全不可行。自然界中的随机现象有哪些？例如水波的扰动、树木的年轮或者纹理、山脉的高低起伏（想想大名鼎鼎的“我的世界”）、天上飘来飘去的云以及跳动的火焰等等。这些现象中包含有随机的成分，但是相互之间又有关联，主要表现为，它们是平滑的进行变化，而不是像白噪声那么尖锐。所以，柏林噪声就出现了，它就是用于程序模拟生成自然纹理。

　　如下图所示，是一张柏林噪声图：

三、原理

　　然后我们来讨论一下一维、二维柏林噪声的原理。

1、一维柏林噪声

　　首先，在X轴向上每个整数坐标随机生成一个数（范围为-1~1），我们称这个数为Gradient，译为梯度或者斜率。然后我们对相邻两个整数之间使用梯度进行插值计算，使得相邻两点之间平滑过渡。平滑度取决于所选用的插值函数，老版的柏林噪声使用f(t)=3*t*t-2*t*t*t，改进后的柏林噪声使用f(t)=t*t*t*(t*(t*6-15)+10)。

　　如图所示：

　　上图来自于KenPerlin的Simplex Noise论文，论文中提到了经典的柏林噪声定义。

2、二维柏林噪声

　　对于二维来说我们可以获取点P(x, y)最近的四个整数点ABCD，ABCD四个点的坐标分别为A(i, j)、B(i+1, j)、C(i, j+1)、D(i+1, j+1)，随后获取ABCD四点的二维梯度值G(A)、G(B)、G(C)、G(D)，并且算出ABCD到P点的向量AP、BP、CP以及DP。如下图所示：

　　红色箭头表示该点处的梯度值，绿色箭头表示该点到P点的向量。

　　接着，将G(A)与AP进行点乘，计算出A点对于P点的梯度贡献值，然后分别算出其余三个点对P点的梯度贡献值，最后将(u, v)代入插值函数中算出P点的最终噪声值。

　　以上类推到三维的柏林噪声，则需要算出八个顶点的梯度贡献值，然后进行插值计算。

　　还有一个问题没有解决，就是怎样随机生成梯度值。当然你可以通过使用一个伪随机函数生成一维到三维的梯度值（二维和三维就是梯度向量了），例如，对于一维可以使用下面的公式：

　　Fract(Sin(n)*753.5453123f);

　　另外一种，也是柏林使用的，是预先生成256个伪随机的梯度值（以及二维和三维的梯度向量）保存在G1[256]、G2[256][2]]以及G3[256][3]中，然后对于一维柏林噪声来说，我们可以直接去取G1[]数组中的梯度值使用，对于二维或者三维的怎么办？柏林预先又生成了一个排列P[256]，将0~255的下标随机存放在P数组中，然后通过下面公式来取到随机的梯度值：

　　G2[P[x] + y] ——二维

　　G3[P[P[x] + y] +z] ——三维

　　以上就完成了随机取梯度值的算法。

　　当然，这里还要提一下在Improved Noise论文中柏林对于三维柏林噪声的改进。在论文中柏林的第一个改进就是插值函数的改进，也就是我们上面提到过的f(t)=t*t*t*(t*(t*6-15)+10)，它使得插值出来的噪声值更平滑了，特别是在三维中。

　　下图左边是三维柏林噪声使用老版本插值函数计算的结果，右边是改进的插值函数计算的结果。可以看出效果提高了不少。

　　另外一个改进针对取随机梯度值。在三维中，P点周围的最近8个点构成了一个立方体，P点到立方体的每条边的中点的向量有12个，柏林使用这12个随机梯度向量替代了原先的256个梯度向量。当然取随机梯度向量的操作就变成了：G3[ P[P[P[x] +y] + z] ]。

四、实现

　　这里给出二维柏林函数的部分实现代码，二维的比较具有代表性。完整的一维到三维的柏林函数实现请下载附件查看。附件中对于三维柏林噪声使用的是改进后的算法，一维和二维则是用的经典算法。附件中也包含了着色器版的三维柏林噪声的实现。

public static float Fade(float t)
{
    returnt*t*t*(t*(t*6-15)+10);
    //return3*t*t-2*t*t*t;
}
public static float Gradient_2D(int x, Vector2 y)
{
    return Vector2.Dot(gradient_2D[x%gradient_2D.Length], y);
}
public static int Perm(Vector2 p)
{
    intp1 = permutation [((int)p.x) % 256];
    returnp1+(int)p.y;
}
//classic method
publicstatic float PerlinNoise_2D(Vector2 p)
{
    InitGradient();
    Vector2ip = CMath.Floor(p);
    Vector2np = p - ip;
    Vector2t = Fade(np);
    floatcorner1 = Gradient_2D ( Perm(ip), np );
    floatcorner2 = Gradient_2D ( Perm(ip+new Vector2(1, 0)), np-new Vector2(1, 0) );
    floatcorner3 = Gradient_2D ( Perm(ip+new Vector2(0, 1)), np-new Vector2(0, 1) );
    floatcorner4 = Gradient_2D ( Perm(ip+new Vector2(1, 1)), np-new Vector2(1, 1) );               
    returnMathf.Lerp (
           Mathf.Lerp(corner1,corner2, t.x),
           Mathf.Lerp(corner3,corner4, t.x),
           t.y);
}