石头剪刀布的期望值，模拟及推理过程小谈
发表于2018-07-17
这是来自GAD策划群的一个小问题：
两个人玩石头剪刀布的游戏，采用的是三局两胜制
（先胜2次者为赢家，如果已经2：0，则不需要进行第三次比试）
那么请问，平均要多少次比试才能分出一次胜负？
这个应该算是描述很简单的期望题了。
本来是应该安安分分用先数学求解的，可是现在已经看见求期望题，不管三七二十一先模拟了再说。
如图：
运行的结果：
因为循环1000万次，所以平均值为3.75次。
心中有底了，就可以开始数学求解过程了。
数学求解其实就是一个累加的过程。
几乎任意的求期望都是一个公式
总期望值 = ∑单个集合的期望值
单个集合的期望值 = 该集合的几率 * 该集合的对局次数
（注：本体的集合是按照对接次数来分类的，不同的集合分类有不同的计算方式）
（注：单个集合 = ∑子集 ，一直细分直到有适合的算法为止，但本题一次细分就够了）
例如：A B对决，那么A两局胜的期望值就是
（注：不用看B的胜局，因为对称性，最终结果*2即可）
A胜 A胜
[1/3（第一次A胜的概率） * 1/3（第二次A胜的概率率）]（A连胜的总概率） * 2（对局次数）
易得：
对决n局A最终获胜的期望值为：
如果这个都“易得”了，我这篇文章只要直接写答案就好了，没有存在的意义。
基本求期望值，最重要的一步就是求通项公式了，找不到通项公式计算量就会很大
数学求解的意义就没那么大了。
我们继续看看下一个去
（A代表A单局胜，B代表B单局胜，0代表平局）
A两局胜： 一种情况的出现几率 * 有都少种情况 * 需要对决次数
AA （1/3)^2 * （1 * 1 ）* 2
A三局胜：
A0A
ABA
0AA
BAA (1/3) ^ 3 * （2 * 2） * 3
A四局胜：
A00A
AB0A
A0BA
0A0A
BA0A
0ABA
00AA
0BAA
B0AA （1/3）^ 4 *（3 * 3 ） *4
由此可推：
A n 局胜： （1/3） ^ n *[(n-1) ^2）] * n
通项公式找到，就好办了，如果懒得算就用excel拉表
（注：因为这个是指数函数，后面的值极小，可以忽略）
随手拉个100行
1.875 * 2 = 3.75
完工~