3D数学 学习笔记（11）几何检测

任意点q，找到直线 p·n = d 上最近的点q’。

- d - d_M = d - q·n

任意点q，找到射线上p(t) = p_org + td 最近点q’。直接点乘做投影即可。 
- t = d·v = d·(q - p_org)

如果t是从0到1变化，计算t必须除以d的模： 

任意点q，找到平面p·n上最近的点q’。a为距离。 
- p + an =q

任意点q，找到圆 || p - c || = r 上（边缘）最近点q’。

直接在判断xyz即可。 

即求解方程组： 

三种情况： 
- 一个解：分母不为0。 
- 无解：分母为0，平行且不相交。 
- 无穷多个解：分母为0，两线重合。

同样解方程组，即 r₁(t₁) = r₂(t₂)。 

三种情况： 
- 一个解：分母不为0，即d1、d2叉乘不为0。注意如果两线不在同一平面，求的两个值是相距最近的点。 
- 无解：分母为0，平行。 
- 无穷多个解：分母为0，重合。

射线和平面相交性检测

射线p(t) = p_o + td ， 平面p·n = d。

四种情况： 
- t > l（射线长度）：不相交。 
- l ≥ t ＞0：相交。 
- t = 0：平行。 
- t < 0：射线原点在面的背后，不相交。

AABB由p_min和p_max定义。判断和平面p·n = d相交，只需用平面法向量n点乘AABB的最大最小点即可。

三种情况： 
- min >= d：AABB最小值都在平面之上，说明整个AABB都在平面之上（正面），不相交。 
- max <= d：AABB在平面背面，不相交。 
- 其余情况：相交。

求解方程组即可。p为相交的点。 

三种情况： 
- 相交于一点：分母不为0。 
- 不存在：分母为0，至少两个平面平行且不重叠。 
- 无穷多个：分母为0，至少两个平面重叠。

射线和圆/球的相交性检测

射线p(t) = p_o + td，d为单位向量，t范围：[0, l]。求的t为交点处的值。 
如果根号内的值为负，则不相交。 

两种情况： 
- 相交：根号值为非负。 
- 不相交：根号值 为负。

静态测试：直接判断两圆心距离即可。即d² < (r1 + r2)²。

动态测试：两个球位移分别为d₁和d₂。简化问题，看成一个静止，另一个运动：位移为d₂ - d₁。 

三种情况： 
- ||e|| < r：球在 t = 0时就相交了（运动前两个就相交了）。 
- t < 0 或 t > l：在时间段内不会相交。 
- 根号值为负：两球不相交。

先找到球心里AABB最近的点（见前面），最近点和球心距离d，比较d和球半径即可。

静态测试：直接判断球心和平面距离（见前面），加上一个球半径判断即可。

动态测试：球运动轨迹为c + td。c为圆心，d为方向，t从0变化到l。直接使用射线与平面交点公式（见前面）即可，不过要加上球半径r。