合理到颤栗：浅析《皇室战争》的宝箱数值设定
《皇室战争》是Supercell公司的又一款席卷全球的革新之作，距其问世已有一年半。尽管在中途经历过一波玩家流失，但其迅速通过调整又站稳了脚跟，如今仍是当下最具有影响力的移动端游戏之一。在国内外都有不少团队受《皇室战争》的启发，不断研发出各式各样的类《皇室》玩法。同时，对《皇室》的研究和讨论也不曾停止过。恰巧笔者作为数值新人，最近正在研究《皇室》的养成数值体系，在此分享个人的一些思考，愿抛砖引玉，与策划同行一起交流进步。
《皇室》的经济系统较为简单。对资源的需求只分金币和卡牌两种。而宝箱是游戏内卡牌产出的主要方式，因此宝箱的内容及数值的设定直接影响到游戏的营收和付费体验。本文主要将视角聚焦于《皇室》的宝箱数值设计，尝试挖掘一些信息并进行分析，希望能够解答以下两个问题：
1.宝箱中卡牌和金币的产出数量是如何决定的？
2.商店中的宝箱定价是如何合理化的？
本文部分数据来源于网络，可能会与当下版本（2017年8月）有所出入。还望大家指正和海涵。
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第一部分 宝箱中卡牌和金币的产出数量是如何决定的？
我们知道各种宝箱的卡牌和金币产出会随着玩家竞技场等级的提高。数量如下图所示：
这么设计的目的是为了使玩家更有动力去提升竞技场等级。那么随着竞技场等级的变化，宝箱的产出，在数值上是否满足某种规律呢？
眼尖的同学可能一眼就发现了这两个矩阵内的数值奥秘。笔者眼拙，为了找出准确的公式，还是老老实实做线性拟合。如下图。
哇这超神宝箱真是不要脸地鹤立鸡群啊。
笔者尝试把指数、对数和线性都拟合了一遍，其中线性的效果最好。看起来笔直笔直对不对。同时，从数字矩阵中我们也不难发现等差数列的存在，因此有理由相信设计者在进行宝箱内容设定时用的就是y=ax b的线性公式。
只是a和b的这些个小数位看得人有些尴尬，设定者不可能最初就采用这种毫无规律的系数，因此很可能是由于数列中有个别数据做过手动调整所导致的。经过一番筛查，笔者排除掉这些数据的干扰之后（主要是1、2级宝箱在数值上被刻意调小了），发现宝箱的通用产出公式为：
产出物数量 Y = 宝箱阶数N * ( 竞技场等级X * 系数a 系数b )
宝箱实际上分为两类。白银宝箱和免费宝箱属于第一类，其余宝箱则为第二类。两者的阶数N不同。另外，对于卡牌和金币而言，I类宝箱的系数a和系数b也不同。有兴趣的小伙伴可以代入验证一下公式的准确性，以下是公式一览：
值得一提的是超神宝箱的金币产出没有完全符合通用公式。笔者倾向于认为N（币）的理论取值应为180，理由是超神宝箱在设定上就是神奇宝箱的6倍强化版，但在金币的产出上并没有达到6倍，则可能是与超神宝箱的钻石购买价格有关，这个在之后宝箱定价的环节会再次提到。
找出公式之后，我们就可以开始窥探公式背后的设计思路了。跟我一起来十万个（并没有那么多）为什么吧~
1.为什么设计者选用的是Y=N*（a*X b）这样的公式？
这个公式的特点在于斜率和截距同时收到阶数N的影响。这里一个最直接的好处就是，只要a和b各自保持一致性，无论玩家的竞技等级如何，不同品质宝箱之间的数量比可以直接用N来衡量，恒定并且直观。这给经济数值的平衡调控上提供了极大的便利性。
另外，在这个公式下，宝箱品质越高，N越大，起始保底的收益越大，随竞技等级提升的产出增幅也越大。在后面的部分我们也会提到，宝箱价格随竞技场等级提升的幅度要小于产出价值的提升幅度，这意味着宝箱品质越高，随等级提升而获得的性价比提升就越高，在中后期对付费玩家的吸引力也会越来越大。这一点未必需要深入到公式层面，一个普通玩家只要稍微计算一下卡牌的相对单价就可以发现。简而言之，使用这个公式有助于鼓励玩家在养成中后期将付费目标瞄准品质最高的超级神奇宝箱。
2.为什么产出公式要分为I类和II类？
原因主要是两类宝箱所承担的功能不同。
我们可以看到I类宝箱仅包括白银宝箱和免费宝箱，是游戏中最常规的宝箱，其系数a和系数b都比II类宝箱的小，阶数N也比较低。作为基础产出，这里对数值的控制一定是非常严格的，数值空间也相对有限。
而II类宝箱则涉及到制造惊喜感、设置游戏目标、制造付费点等功能，对数值空间的需求很大。因此在公式上拆成两类分别各自处理会比较灵活。同时，这也让I类宝箱天然承担了一个标准产出参照的角色，显得II类宝箱看起来具有更高的价值。
3.为什么II类宝箱1级、2级的产出被“打折”了？
原因可能是有多个层面的。
先来看一下实际被“打折”的幅度。1级的实际收益比公式推算的理论收益减少1/11，约9.1%。2级则减少不到4%（2级减少的数量似乎是1级减少数量的一半取整）。
为什么1级时这个减少的比重，分母是11呢？因为根据II类宝箱产出公式，a=3，b=8，当X（等级）=1时，数值必然是11的倍数。因此干脆就按照这个公共的因数来做分母。这样顺带也可以让数值的设定规则更有隐蔽性和美感一些，毕竟11的倍数太好认了，11、22、33、77，一认一个准。而10的倍数就算被认出来也没什么大不了的。
但光是这个理由仍然解释不了为什么2级的数据也要做下调，说明应当还有其他更重要的原因。设计者下调数值的原因很可能是认为玩家在1级、2级时通过商店获得过多宝箱会对造成某种负面效应，不利的对象是自身、其他玩家或者游戏研发商都有可能。而2级下调的幅度比1级小，提示了在2级时，这种负面效应不如1级大。
我们知道《皇室》中可用的卡牌是根据竞技场等级逐渐解锁的。由于1级2级已解锁的卡牌太少，如果玩家在前期从商店大量购买宝箱，则会使得前期解锁的卡被更快更集中地被收集。如果某些玩家有心利用这个规则并故意停留在1、2级，对其他玩家而言大概会是一个卡组平均等级要明显高一截的恶心存在，而这种体验对新人而言是毁灭性的。因此前两级“打折”的主要原因之一可能是为了削弱有心玩家利用这种集中收集的效应，同时也避免新人因遭遇巨大的挫败感而直接退坑。这么说来，前两级的下调就像是在新手区域给不是新手的付费玩家上了一道“集中收集税”。到了第3级，由于可收集卡牌数量的扩增，想要集中收集的成本就变得比较高了，也就不太有玩家专门为此而停留了，“收集税”也就到此为止。
其实即便是不针对上面提到的有心玩家，光是为了在新手的生态环境里缩小付费玩家和非付费玩家的战力差距这一点，也足够成为“打折”的理由了。毕竟不管付费玩家是否意识到存在“集中收集税”，付费收益的“折扣”是实实在在的。付费了是大爷没错，把普通人压制到单膝跪地的程度就差不多了，别老想着把对手打趴在地上狗吃屎，起码的尊严还是要留给对手的对不对。
以上就是对“打折”问题的原因猜测，无论是否正确，都有一些内容可以给设计师们做参考。随等级解锁可收集元素是一种循序渐进开放内容的做法，降低了游戏的学习成本和上手门槛，是很不错的设定。但相应的，在游戏前期收集更为集中这一点也不可不察。
可以挖掘的问题还有不少，但限于篇幅不再过多展开。在了解了宝箱内容数值的如何被设定的之后，接着我们来看看宝箱定价方面的问题。
第二部分 商店中的宝箱定价是如何合理化的？
常见的宝箱的定价思路往往都是根据其产出内容的实际价值进行一定比例的计算。在《皇室》的宝箱里只有金币和卡牌，两者的价值都可以直接量化，定价看起来是非常顺其自然的事情，唯一要注意的可能是要为不同品质卡牌的确定一个合理的价值比。
但设计者似乎并不想让事情就这么简单。于是我们看到的结果是，随着竞技场等级提高，宝箱的价格增幅小于产出卡牌数的增幅，使得宝箱的性价比越来越高。这样做使得玩家在高等级时虽然面临的卡牌需求变大，但同时卡牌的获取单价也略微变低，一定程度上在后期增加了玩家的付费意愿，并降低了付费玩家的养成难度。对付费体验来说算得上是一种不错的优化。
卡牌数量/宝石价格
笔者相信在价格制定时，设计者不会完全脱离产出物的价值而凭空给出一个数值。但从结果上来看，宝箱价格在规律性上并不明显，笔者最终也没能找到一个拟合度较高的公式。不过这也并不奇怪，宝箱在各方面数值上经过数次调整，老玩家可能会有些印象。比如说巨型宝箱最初的阶数N是8而后来调成了7（每级产出量下调了1/8），再比如神奇宝箱的价格调整。这些调整自然会使最初的定价规则渐渐模糊，同时也反映出了，设计者最初的定价未必是合适的，所以需要一个合理化的过程。总而言之，宝箱定价并非一蹴而就，后期的调整中，价格逐渐向着设计者心目中更合理的方向靠拢。
那怎么样才算合理呢？总体而言，需要在符合宝箱自身的定位的同时，即能保证较好的用户付费体验，又能让付费深度不被轻易填满。
付费体验和付费深度的问题网上已经有较多讨论，这里不做过多的复述。而从实际情况来看，前期的付费体验是比较舒服的，对实力提升起到了立竿见影的效果。这说明当前宝箱中折算所得的单卡价格是可以接受的。所以这里我们着重要聊的是商店中3种宝箱的定位，以及如何在数值上实现各宝箱的定位区别。
为了方便说明问题，我们首先需要明确宝箱的作用和价值体现。宝箱中既有卡牌产出又有金币产出。而金币是可以从商店里用宝石直接兑换的。以最实惠的一档做标准，1宝石=22.22金币。从而我们可以明白，金币在宝箱中所占的价值只有4%—6%，剩下的价值则被均摊到不同品质的卡牌身上。所以宝箱的作用主要是提供卡牌，其价值差异主要体现在卡牌产出的总量和不同品质卡牌的组成比重上。卡牌总数越大，高品质卡牌比重越大，则宝箱价值越大。
以下是不同宝箱中不同品质卡牌的数量占比。数据来自于网上的一个大样本统计，其中有不少可以和官方的说法吻合，所以笔者认为这个数据在可信度上算是过关的。传奇卡由于本身数量很少，误差可能较大，这里暂且就先不纳入讨论了。
由此我们可以看出，宝箱在卡牌品质组成上可以分为3类。
A类：白银宝箱。稀有8.33%，史诗0.22%。渣渣啊，稀有连10%都不到。
B类：免费、黄金、皇冠、巨型宝箱。稀有10%，史诗约0.5%。勉强够看吧。
C类：神奇、超神宝箱。稀有20%，史诗3.33%。在高品质卡占比上的优势不言而喻。而C类中的两种宝箱，几乎只能通过付费手段来获得。
结合本文第一部分说明的卡牌产出的数量，我们已经可以对商店中三种宝箱的定位有一个较好的认识。
巨型宝箱：卡牌数量多，高品质卡产出率正常，适合一些只把养成目标局限于非高品质卡的中小R玩家。
神奇宝箱：卡牌数量少，高品质卡产出率高，适合想要在卡组中加入更多高品质卡的中R玩家。
超神宝箱：卡牌数量多，高品质卡产出率高，土豪专属。
此外我们还可以发现一些简洁而方便的设定，比如超神宝箱在卡牌产出方面正好是神奇宝箱的6倍，但在金币产出和价格上则在神奇宝箱6倍价格的基础上打了9折（如下图右列数据所示）。总的来说体现出了多买多划算。笔者认为这两种宝箱的相对定价是完全合理的。
问题主要集中在如何去衡量巨型宝箱和神奇宝箱的相对定价是否合理。在网络上关于这两者之间价值比较的吵嚷声也不绝于耳。在多数玩家眼里，和巨型宝箱一比，神奇宝箱简直烂到了家。而官方在平衡这两个宝箱上的合理化手段是，一刀把巨型宝箱的卡牌产出数量砍掉了1/8，而在神奇宝箱的价格上只是做了一点小微调。
由此我们可以判断，在设计者心中，超神宝箱可能已经确立了价值标杆的地位（调整动作最少）。那么顺带的，和超神宝箱价格具有一定比例关系的神奇宝箱在定价上就没有太大问题。而巨型宝箱先前确实是有些imba，于是被砍了。
但即便砍过一刀，仍然没有改变玩家嫌弃神奇宝箱的事实。在笔者看来玩家的直觉并没有什么错误。我们可以把宝箱中的卡牌价值用统一的标准进行量化，再比较两种宝箱用单位宝石所购买到的卡牌价值，心里就有数了。
根据官方对卡牌稀有度的说明，稀有卡的稀有程度相当于普通卡的10倍，史诗卡的稀有程度相当于稀有卡的20倍，传奇卡的稀有程度相当于史诗卡的20倍。我们可以近似地认为，在卡牌的价值或者说游戏内的综合产出率上，普通：稀有：史诗：传奇=1：10：200：4000。
在此需要特殊说明的是，由于不同宝箱卡牌品质产比不同，游戏中又不可能完全控死宝箱的获取比例，所以这个1:10:200:4000只能是一个大概的比值，会在一个范围内有所浮动。笔者按照游戏内的主要产出方式初步做了一个价值估算，结果是普通：稀有：史诗=1:10:239，与官方所披露的差距在20%以内，算是可以接受。以此也可以验证官方的说法并不是空穴来风。
笔者估算的史诗卡相对普通卡的价值
不同等级下史诗卡相对普通卡的价值
那么我们就拿官方的这个1:10:200:4000数值去代入计算宝箱的性价比，结果如下图右列所示。于是发现，我的妈呀，巨型宝箱也忒划算了点吧，后期在性价比上甚至赶超了超神宝箱。这个设定真的大丈夫？
宝箱卡牌总价值/宝石价格
然而设计者在这个问题上并没有选择一步就把相对价值修正到位，之后也一直没有进一步的调整动作，笔者猜测在设计者心中当前的价格已经是他想要的了。而笔者对这种设定的理解是，设计者刻意让巨型宝箱的性价比高一些，让小R看到花小钱就能追赶中R的希望，以此增加对小R的付费吸引力。
这么说来，为了追求最大的性价比，巨型宝箱才是付费玩家们最好的选择？
恩~设计者摆出了一幅讳莫如深的表情。
我们可以试着从另一个角度来看待这个问题。不知道各位是否好奇过，为什么在C类宝箱中，稀有卡的产出率是20%，史诗卡的产出率是3.3%？
在数值上，我们可以初步理解为设计者希望在C类宝箱中，每伴随5张普通卡就会产出1张稀有卡，每伴随30张普通卡就会产出1张史诗卡。那么这个每5张，每30张是怎么来的呢？为什么不是每20张或者每40张？
原因可能在于游戏中玩家实际对不同品质卡牌的相对需求数量上。我们可以从下图中看到玩家在不同等级下养成各品质卡牌所需的卡牌数量。
如果以把卡牌升到满级作为目标，那么对于各品质的卡牌来说，在数量上的需求就是普通=9586，稀有=2586，史诗=386，传说=36。假如想要以符合这个相对需求数量的比例来掉落卡牌，理想的掉落率将会是，普通：稀有：史诗：传说=76.1%：20.5%：3.1%：0.3%。是不是跟C类宝箱在稀有卡和史诗卡的掉率上很接近？
换句话说，C类宝箱的一个隐藏价值属性在于，各品质卡牌的掉落占比与各品质卡牌养成对数量的需求比非常接近，对于想要养成更多卡牌的玩家而言浪费程度很低。而巨型宝箱的价值过多地集中在了普通卡上，虽然总的性价比高，却跟其他非付费宝箱一样，严重满足不了对稀有卡和史诗卡的数量需求。
假如一个中R想要尝试更多的卡组套路，又执着于巨型宝箱的高性价比，可能回过头来才会发现有大量的普通卡烂在手里送都送不完，那可能算是一个有点儿悲伤的故事了。所以巨型宝箱看似划算，对中R来说是却埋藏着一个小陷阱。什么？你是土豪你就只买巨型宝箱？…….牛逼。
那么回头整理一下这个问题，《皇室》商店中宝箱的定价是如何合理化的？在笔者看来是这么一个过程。首先确定了宝箱的物品产出数量，并根据卡牌养成需求数量确定了各品质卡牌在各付费宝箱中的掉率。随后根据宝箱的产出总价值为各个宝箱拟定一个初步的价格，同时确定并满足了宝箱随等级提高性价比的需求。之后在实践中确立了超级宝箱作为价值标杆，本身就锁定了和神奇宝箱的价值关系。最后再把巨型宝箱调整到一个较为合理的定价。差不多是这样子。
这对我们有什么借鉴意义呢？我个人觉得把巨型宝箱打扮得像是薄利多销的样子，这一招蛮阴的嘿嘿。另外就是对于设有卡牌稀有度的游戏来说，《皇室》提供了一个和《炉石》完全不同的价值和产出模型。在这种模型里给卡牌设置相对价值时，需要综合考虑需求和供给。而通过调节供需关系，也许可以做到一些既没有节操又不会太不体面的事情。大家应该都懂的。
在这一部分最后，我们再次把目光投到神奇宝箱身上，看看下面这个问题。《皇室》的一些机制使得神奇宝箱的价值被严重低估，但有时候塞翁失马，再加上设计者有意无意地因势利导一下，就能产生意想不到的效果。虽然这样的效果看上去有些可遇不可求。
如何看待玩家不喜欢神奇宝箱？
为什么玩家不喜欢神奇宝箱？一方面当然就是上面提到的，在不考虑供求关系的情况下，神奇宝箱的单位宝石收益低于巨型宝箱，而超级神级宝箱又给人有折扣的感觉，真是和谁比都显得神奇宝箱有点鸡肋。
不过除此之外，其实还有一个非常重要的原因是，神奇宝箱在信息披露上吃了亏。这其实可以归因到《皇室》特有的宝箱产出控制和产出保底设置。《皇室》的宝箱产出和保底几乎是一体的。同一级别的某个宝箱里，各品质卡牌在产出数量的随机性上非常小。以4级超神宝箱为例，共产出360张卡牌，史诗卡掉率为3.33%，理论产出11.88张史诗卡。11.88的整数部分就是显示的保底数量，而小数部分则是代表88%的概率在保底基础上额外多获得一张史诗卡。
然而在信息披露上，88%概率额外获得一张史诗卡这一点被隐藏了，玩家如果没有关注到官方声明，是很容易忽略这一点的。这带来的结果是，部分玩家会直接以保底的数量来衡量一个宝箱的价值。很显然，当整数部分越小时，被舍掉的小数部分占整体的比重就越大，被忽略之后给人直观的价值就比应有的更低。拿3级神奇宝箱为例，总共掉落51张卡，期望掉落1.7张卡。但在玩家眼里的价值就只有1张，只有实际的60%左右。不觉得亏那才奇怪了。而神奇宝箱的卡牌总产量恰恰是非常少的，这一点加剧了上述这种误解。而巨型宝箱和超神宝箱由于较大的卡牌数量基数，所受影响就小的多。
从本文第一部分的分析中，我们明白了宝箱卡牌产出数量是由公式Y=N*（a*X b）决定的。神奇宝箱的N被设成了3。那是否可以通过把神奇宝箱的N设大一些来尽量减少玩家对它价值的误解呢？
在笔者看来问题不大，但设计者并没有这么做。是刻意的么？我不太清楚。但我想也许确实未必需要去修正这种价值误解。这种价值误解再加上巨型宝箱的高性价比，所带来的结果是，让一部分玩家在巨型宝箱和神奇宝箱之间更加确信了自己去选择巨型宝箱的理由，这对卖方来说并没有什么不好的。反而是玩家在两种宝箱之间拿捏不定，倒有可能动摇其付费的决心。
这么看来，神奇宝箱的价值低估进一步诱导并影响玩家购买宝箱的行为，是不是有点像个托？所以，在付费项目上未必需要把所有付费项都设置成合乎理性的价值，保留一些看似不划算的内容，反而能更好地吸引玩家进行付费。同时，对于一部分玩家来说，鉴别什么东西值得购买，也是一种乐趣所在。
总结
本文到这里就告一段落。全文主要浅析了《皇室》中宝箱的设计思路和方法，并做了一些关于《皇室》中付费引导（或者说诱导）方式的猜测。谈笑扯蛋间对猜测的正确性不做任何保证（但客观上类似的做法是值得一试的哈）。另外在整个分析过程中，我们可以经常领略到《皇室》在数值设定风格上的简约和豪迈，同时在整个经济体系里舍弃了大部分的收益随机性，使得整体养成进度更加可控。这样的做法不仅大幅提升了设计效率，也降低了调整的难度，同时充分显示出了一种在设计理念上的自信。把握核心乐趣，保证核心体验，在这样的前提下，勇敢地舍弃掉一些繁杂又低效的设定，让项目能更有效率地推进，这种做事风格，是Supercell除了他卓越的创新力之外，又一个非常值得我辈学习的地方。与君共勉。
最后谢谢大家耐心的阅读，给各位看官大人们鞠躬。如有说得不好，欢迎各路大神前来拍砖~